Studiamo il moto di un oggetto a cui viene impressa una velocità iniziale \vec{v} = \left( v_{0x}, v_{0y} \right)
e soggetto alla forza di gravitazionale della Terra.
Scegliamo un sistema di riferimento con l’origine coincidente con la posizione iniziale del corpo e l’asse delle ordinate parallelo alla direzione della forza ma con verso opposto. Si riconosce che il moto di quest’oggetto può essere visto come composizione di un moto rettilineo lungo l’asse delle ascisse e un moto uniformemente accelerato lungo l’asse delle ordinate.
Le equazioni del moto espresse in questo sistema di riferimento sono
Dove le componenti della velocità si possono esprimere come
\begin{cases}v_{0x}=v_0 \cos \alpha \\v_{0y}=v_0 \sin \alpha\end{cases}Pertanto
\begin{cases}v_{0x}=v_0 \cos \alpha \\v_{0y}=v_0 \sin \alpha\end{cases}\Rightarrow {y=\tan \alpha x -\frac{1}{2} \frac{g}{\cos \alpha} x^2}Quest’ultima è l’equazione della traiettoria, che si riconosce essere una parabola.
Riguardo il moto di quest’oggetto possiamo ricavare i seguenti parametri.
Il tempo di volo
Poniamo y=0 \Rightarrow {v_{0y} t -\frac{1}{2} g t^2 = 0 \Rightarrow {t=0\;\; e\;\; t=2 \frac{v_{0y}}{g}= 2 \frac{v_0}{g} \sin \alpha }}.
Gittata
Basta ricavare la distanza raggiunta dal termine del tempo di violo
x=v_{0x}\; 2 \frac{v_{0y}}{g}= 2 \frac{v_{0x} v_{0y}}{g}= 2 \frac{v_{0}^2}{g} \sin \alpha \cos \alpha = \frac{v_{0}^2}{g} \sin 2 \alphaVertice della parabola
Si può calcolare immediatamente come metà della gittata oppure trovando l’istante in cui componente verticale della velocità si annulla e quindi
v=v_{0y}-gt \Rightarrow 0=v_{0y}-gt \Rightarrow t=\frac{v_{0y}}{g} e sostituendo nell’equazione oraria del moto nella direzione orizzontale si ottiene
x =v_{0x}t=v_{0x}\frac{v_{0y}}{g} =\frac{v_{0x} v_{0y}}{g} =\frac{v_{0}^2}{g} \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\frac{v_{0}^2}{g} \sin 2 \alpha .
Analogamente si ottiene l’altezza massima
y =\frac{v_{0y}}{v_{0x}}\frac{v_{0x} v_{0y}}{g}-\frac{1}{2}\frac{g}{v_{0x}^2}\frac{v_{0x}^2 v_{0y}^2}{g}^2 =\frac{v_{0y}^2}{g}-\frac{1}{2}\frac{v_{0y}^2}{g} =\frac{1}{2}\frac{v_{0y}^2}{g} =\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g}\sin^2 \alpha .
Fissata la gittata \ell ricaviamo:
\ell=2 \frac{v_{0x} v_{0y}}{g} \Rightarrow { \ell=2 \frac{v_{0}^2}{g} \sin 2 \alpha \Rightarrow { v_{0}^2=\frac{\ell g}{\sin 2 \alpha} \Rightarrow { v_{0}=\sqrt{\frac{\ell g}{\sin 2 \alpha}} }}} .
Da quest’ultima si ricava che deve necessariamente essere 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.
La velocità da imprimere alla partenza dipende quindi solo dall’angolo \alpha. Derivando l’espressione della
velocità rispetto all’angolo otteniamo
2 \sqrt{\ell g}\left(-\frac{1}{2}\right) \sin^{-{3}{2}} 2 \alpha \cos 2 \alpha = -\sqrt{\ell g}\frac{\cos 2 \alpha}{\sqrt{\sin^3 2 \alpha}} .
Imponiamo
-\sqrt{\ell g}\frac{\cos 2 \alpha}{\sqrt{\sin^3 2 \alpha}}=0 \Rightarrow 2 \alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4} .
Questo valore rappresenta l’angolo per il quale v_0 è minima e v_0=\sqrt{\ell g} è la velocità minima da imprimere all’oggetto per raggiungere \ell, ma lo raggiungerà solo se l’angolazione della velocità iniziale è \alpha = \frac{\pi}{4}.