velocità di fuga – L'Entropia nell'Universo può solo aumentare

Lanciamo un corpo di massa $m$ dalla superficie della Terra ad una velocità $v_0$ . La sua energia totale è data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale:

E_{tot} = \frac{1}{2} m v_0^2 -G \frac{m M_T}{R_T}

Quando il corpo si allontana dalla superficie della Terra la sua energia potenziale aumenta mentre l’energia cinetica diminuisce in modo che l’energia totale rimanga costante.

Sia $r$ la distanza dal centro della Terra a cui si trova il corpo:

E_{tot} = \frac{1}{2} m v^2 -G \frac{m M_T}{r} = \frac{1}{2} m v_0^2 -G \frac{m M_T}{R_T} \Rightarrow

\Rightarrow\;G \frac{M_T}{r} = \frac{1}{2} v^2 -\frac{1}{2} m v_0^2 + G \frac{M_T}{R_T} \Rightarrow

\Rightarrow\;G \frac{M_T}{r} = \frac{1}{2} v^2 -\frac{1}{2} m v_0^2 + G \frac{M_T}{R_T}\Rightarrow

\Rightarrow\;r = \frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T -R_T \left(v_0^2 -v^2 \right)}

La velocità sarà nulla ad una distanza:

r_0 = \frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T -R_T v_0^2 }

escludendo il caso in cui $2 G M_T -R_T v_0^2$ , cioè $v_0=\sqrt{2 G \frac{M_T}{R_T}}$ .

Chiamiamo $v_f=\sqrt{2 G \frac{M_T}{R_T}}$ “velocità di fuga”, un valore dipendente solo dalle caratteristiche del pianeta a cui si riferisce,
si ha quindi che per $v_0< v_f$ il corpo lanciato si fermerà ad una distanza $r_0$
del centro della terra, mentre per $v_0=v_f$ non interromperà mai il suo moto.

Inoltre, dalla condizione $r\,\ge\,R_T$ si ha che:

\frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T -R_T v_0^2}\;\ge\;R_T

per cui

\begin{cases} 2 G M_T \ge 2 G M_T - R_T v_0^2\; \text{con}\; v_0 < v_f \\ 2 G M_T \le 2 G M_T - R_T v_0^2\; \text{con}\; v_0 > v_f \end{cases}

\begin{cases} v_0^2 \ge 0\; \text{con}\; v_0 < v_f \\ v_0^2 \le 0\; \text{con}\; v_0 > v_f \end{cases}

v_0 \ge 0\; \text{con}\; v_0 < v_f

Perciò quando $v_0 < v_f$ il corpo si fermerà dopo aver percorso una distanza:

r_0 = \frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T -R_T v_0^2 }

invertendo poi il moto e cadendo sulla Terra, mentre per $v_0 \ge v_f$ si perderà nello spazio.

La velocità di fuga dalla superficie della Terra è:

$v_f = \sqrt{2 G \frac{M_T}{R_T}} = \sqrt{2\; 6,67\times10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2} \frac{5,98\times10^{24} kg}{6,37\times10^6 m}} = 11190,74 \frac{m}{s}\approx 11\frac{km}{s}$ .

Mentre per sfuggire alla gravità della Luna basta una velocità iniziale:

$v_f = \sqrt{2 G \frac{M_L}{R_L}} = \sqrt{2\; 6,67\times10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2} \frac{7,35\times10^{22} kg}{1,738\times10^6 m}} = 2375,18 \frac{m}{s}\approx 2,38\frac{km}{s}$ .

Di seguito le velocità di fuga degli altri pianeti del Sistema Solare.

Pianeta	Massa (kg)	Raggio (m)	Velocità di fuga (km/s)
Mercurio	3,30 x 10²³	2,44 x 10⁶	4,25
Venere	4,87 x 10²⁴	6,05 x 10⁶	10,36
Marte	6,42 x 10²³	3,40 x 10⁶	5,02
Giove	1,90 x 10²⁷	7,15 x 10⁷	59,52
Saturno	5,68 x 10²⁶	6,03 x 10⁷	35,47
Urano	8,68 x 10²⁵	2,56 x 10⁷	21,29
Nettuno	1,02 x 10²⁶	2,48 x 10⁷	23,49

Come noto un oggetto posto ad una distanza d da un corpo di massa M per allontanarsene dovrà assumere una velocità almeno pari
alla velocità di fuga. Tale quantità vale:

v_f = \sqrt{2\; G\; \frac{M}{d}}

La luce si diffonde ad una velocità finita, pari a $c = 3 \times 10^8\; m/s$ .
Ci chiediamo sotto quali condizioni la velocità di fuga possa essere pari o superiore a $c$ . La soluzione si ottiene risolvendo la disequazione:

v_f \ge c \Leftrightarrow 2\; G\; \frac{M}{d} \ge c^2 \Leftrightarrow d \le 2\; G\; \frac{M}{c^2}

Posto $d_0=2\; G\; \frac{M}{c^2}$ , la condizione sarà verificata per $d \le d_0$ .

La superficie sferica di raggio $d_0$ è detta ”orizzonte degli eventi”, mentre lo spazio incluso nell’orizzonte degli eventi è detto ”buco nero”.

Lente gravitazionale prodotta dal buco nero

I fotoni, le particelle che compongono la luce, benché privi di massa sono soggetti alla forza di gravità, pertanto la luce di una sorgente luminosa posta al di là dell’orizzonte degli eventi non può allontanarsi dalla massa centrale.
Quest’ultima quindi non potrà brillare di luce propria né di luce riflessa. La caratteristica di un tale oggetto è di ingoiare qualunque cosa, luce compresa, apparendo quindi completamente scuro, da cui il nome di buco nero.
Un buco nero non è pertanto visibile, ma si può individuare dalle reazioni che provoca su eventuali corpi celesti posti nelle sue prossimità e dalla sua capacità di deviare i raggi di luce.
All’interno del buco nero la materia ha una densità media

\rho=\frac{M}{V} =\frac{M}{\frac{4}{3}\;\pi\;d_0^3} =\frac{3}{4} \frac{M}{ \pi\;d_0^3} =\frac{3}{4} \frac{M}{ \pi\;\left (2\;G\;\frac{M}{c^2}\right )^3} =\frac{3}{4} \frac{M}{ \pi\;\left ( 8\;G^3\;\frac{M^3}{c^6} \right )} =\frac{3}{32} \frac{c^6}{ \pi\;G^3 } \frac{1}{M^2}

di conseguenza la sua massa si può scrivere come

M=\sqrt{\frac{3}{32} \frac{c^6}{ \pi\;G^3 } \frac{1}{\rho} }=\frac{c^3}{4}\sqrt{\frac{3}{ 2\;\pi\;G^3 } \frac{1}{\rho} }

Se la quantità di materia è sufficiente anche una densità bassa può dare luogo ad un buco nero, per esempio è possibile che esista un buco nero con una densità pari a quella dell’aria $\rho=1,225 \frac{kg}{m^3}$ .

Affinché ciò si verifichi il buco nero dovrebbe avere una massa
$M=\frac{(3 \times 10^8 \frac{m}{s})^3}{4}\sqrt{\frac{3}{ 2\;\pi\;(6,67 \times 10^{-11} \frac{N m^2}{kg^2})^3} \frac{1}{1,225 \frac{kg}{m^3}} } =7,74 \times10^{39} kg$

e un diametro

d_0=2 \cdot 6,67 \times 10^{-11} \frac{N m^2}{kg^2} \frac{7,74 \times 10^{39} kg}{(3 \times 10^8 \frac{m}{s})^2}= 1,147 \times 10^{13} m

cioè circa quattro miliardi di masse solari con un raggio sedicimila volte più grande.

Come caso limite possiamo prendere in considerazione una densità dell’ordine di quella che si può trovare nei nuclei atomici cioè $\rho=2,3 \times 10^{17} \frac{kg}{m^3}$ . Abbiamo quindi un valore per la massa pari a

M=\frac{(3 \times 10^8 \frac{m}{s})^3}{4}\sqrt{\frac{3}{ 2\pi (6,67 \times 10^{-11} \frac{N m^2}{kg^2})^3} \frac{1}{2,3 \times 10^{17} \frac{kg}{m^3}} } =1,79 \times10^{31} kg

e un diametro

$d_0=2 \cdot 6,67 \times 10^{-11} \frac{N m^2}{kg^2} \frac{1,79 \times10^{31} kg}{(3 \times 10^8 \frac{m}{s})^2}= 26462 m$ .

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