Gli argomenti di logica matematica che più solleticano la fantasia sono quelli che sembrano andare contro il senso comune. Tra questi il caso più interessante e ricco di spunti è la descrizione del significato dell’implicazione logica.
L’implicazione è un operatore che si applica a due frasi valide; il risultato è una terza frase, composta dalle prime due che avrà una struttura del tipo “se … allora …” e sarà anch’essa una frase valida.
Ho usato qui il termine “frase valida” in maniera impropria per evitare di usare il termine più corretto ma trippo “pomposo” di formula ben formata (tanto che in genere per essa si usa l’abbreviazione fbf), che, sempre per semplificare, si può definire come una frase che assume uno e uno solo dei valori tra vero e falso.
Dal punto di vista più formale, siano A e B due frasi valide, applicando l’implicazione logica otteniamo la frase valida “se A allora B“, che se spesso si può trovare nella forma “A è condizione sufficiente per B” o “B è condizione necessaria per A“, o ancora, utilizzando la simbologia A[math]\implies[/math]B. Al pari di A e B anche A[math]\implies[/math]B, in quanto frase valida, sarà vera o falsa. In particolare sarà sempre vera tranne nel caso in cui A è vera e B falsa.
Per chiarire la definizione di un operatore logico (per chi non lo sa, ce ne sono altri oltre l’implicazione) si usa spesso la tavola della verità, cioè si enumerano tutte le possibili combinazioni di valori di verità di A e B e si indica il corrispondente valore della frase composta:
| A | B | A[math]\implies[/math]B |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
In Matematica, e a maggior ragione in Logica Matematica, una definizione non si discute ma la si tratta come una pura convenzione. Aver chiamato quest’operatore implicazione e leggerla come “se A allora B” non significa ad esempio che tra A e B ci sia una relazione di causa-effetto, ed in generale non bisogna farsi trarre in inganno dal significato che una frase del genere ha nel “linguaggio comune”.
Per chiarire ciò caliamo questo discorso in un caso reale; può capitare ad esempio di essere impiegato presso una società (che per esempio può essere una qualunque società di consulenza informatica o quant’altro) per diversi anni e con il tempo trovarsi ad essere relegato in attività sempre più marginali, ad avere sempre meno credito e di conseguenza ottenere delle valutazioni di anno in anno peggiori malgrado si cerchi di contribuire con il proprio impegno e disponibilità (sì, in queste società alla fine dell’anno ti fanno una pagellina, proprio come a scuola, eppure quello che fai è un lavoro e sei inquadrato con un Contratto Collettivo Nazionale). Ci si può chiedere per quale motivo continuare nell’impegnarsi a contribuire al successo del progetto per cui si lavora e in generale per l’azienda, dal momento che non si si otterrà nulla in cambio? Per essere chiari lavorare sì e con impegno, perché è ciò per cui è pagati ed è tuo dovere rispettare l’impegno contrattuale; ma tutto ciò che è extra? Perché essere disposti a dare di più?
La domanda è fondamentale, ma quello che conta soprattutto è la risposta: “se questa società durerà a lungo allora impegnati quanto più è possibile”.
Abbiamo una frase del tipo “se A allora B“, dove:
A=”questa società durerà a lungo”;
B=”impegnati quanto più è possibile”.
Ogni frase ha la sua negazione, cioè una frase valida che è vera se la frase di partenza è falsa e falsa se la frase di partenza è vera:
[math]\neg[/math]A=”questa società non durerà molto”
[math]\neg[/math]B=”impegnati solo il necessario”
Sottolineiamo qui la prima considerazione controintuitiva: la frase A [math]\implies[/math]B non equivale a [math]\neg[/math]A [math]\implies[/math][math]\neg[/math]B: non è corretto dire “se questa società non durerà molto allora impegnati solo il necessario”, bensì la frase corretta deve essere scritta “se impegnati solo il necessario allora questa società non durerà molto”. La cosiddetta forma contronominale dell’implicazione assume la forma [math]\neg[/math]B [math]\implies[/math][math]\neg[/math]A.
Una seconda considerazione riguarda la stessa definizione di implicazione: questa frase è sempre vera a meno che A sia vera e B falsa. Aiutandoci anche con la tabella precedente si ha che l’implicazione è vera nei seguenti casi:
- “questa società durerà a lungo” è vera e “impegnati quanto più è possibile” è vera
- “questa società durerà a lungo” è falsa e “impegnati quanto più è possibile” è vera
- “questa società durerà a lungo” è falsa e “impegnati quanto più è possibile” è falsa
mentre è falsa nel caso
- “questa società durerà a lungo” è vera e “impegnati quanto più è possibile” è falsa
Riscrivendo le frasi in forma negativa, le frasi atomiche sono vere ed è vera anche l’implicazione:
- “questa società durerà a lungo” e “impegnati quanto più è possibile”
- “questa società non durerà molto” e “impegnati quanto più è possibile”
- “questa società non durerà molto” e “impegnati solo il necessario”
mentre in questo caso, malgrado le frasi atomiche siano vere, l’implicazione è falsa:
- “questa società durerà a lungo” e “impegnati solo il necessario”
In primo luogo, supponendo l’implicazione vera, si nota che B sia vero o meno non ci permette di dire nulla sul valore di verità di A, dal momento che “impegnati quanto più è possibile” è vera, non è detto che sia vero o che “questa società durerà a lungo”, ma lo stesso avviene se “impegnati solo il necessario” è vera: “questa società durerà a lungo” può essere vera o falsa.
A rafforzare tale stranezza tra A e B c’è solo una relazione logica e non una relazione di causa-effetto: “questa società non durerà molto” è causa del fatto che devi “impegnati quanto più è possibile”? Come abbiamo detto la risposta è no.
Un’altra considerazione sull’implicazione consiste nella possibilità di essere scritto in forme alternative completamente equivalenti, ottenendo cioè la stessa tabella di verità. La scrittura alternativa dell’implicazione è [math]\neg[/math]A [math]\lor[/math]B: quest’ultima assume gli stessi valori di verità di A [math]\implies[/math]B, ciò vuol dire che l’implicazione equivale alla frase “questa società non durerà molto o impegnati quanto più è possibile”, che non ha molta relazione con quanto il senso comune ci suggerisce.
Spero che l’aver inspirato abbastanza dubbi, nella speranza di indurre chi legge ad approfondire ma una cosa la posso svelare; per quanto mi riguarda [math]\neg[/math]B (“impegnati solo il necessario”) è quanto ho fatto dal momento che ho realizzato che impegno e disponibilità non corrispondeva nessun tipo di gratificazione, anzi sembrava che avvenisse il contrario; altresì dal momento stavo solo aspettando il momento giusto per cambiare lavoro, cosa che era ormai nell’aria, ho dovuto solo pazientare un po’.