Il giorno del pi-greco ricorre ogni anno il 14 marzo, che scritto in formato americano si indica appunto con 3.14. Quest’anno il giorno del pi-greco sarà ancora particolare, perché le cifre dell’anno formano in numero 3.1415: sarà il giorno del pi-greco del secolo!
Ogni anno creo un evento su Facebook e per attirare l’attenzione cerco di mettere in evidenza delle curiosità, quest’anno il tema è “Pi-Greco e Simpson. Quale relazione ci può essere tra le due cose?”
Forse nessuna, ma cercando su internet ci si può imbattere in questa strana formula matematica, e allora qualcosa sotto c’è:
Si tratta di un metodo di integrazione, ci serve una funzione da integrare; il risultato potrebbe servirci per approssimare pi-greco. L’idea più immediata potrebbe essere quella di integrare \sqrt{1 + x^2} tra 0 e 1 (area del settore circolare nel 1° quadrante), tenendo conto che l’area del cerchio di raggio 1 è proprio pi-greco, basterà moltiplicare il risultato per 4. Io però eviterai di usare questa funzione, comunque presenta un radicale e si dovrebbe trovare il modo di calcolare la radice, introducendo un ulteriore problema nel problema: evitiamo prendendo una funzione diversa, ma quale?
Precisiamo, giusto per non creare spiacevoli equivoci, la formula di integrazione presentata non è di Homer Simpson, ma prende il nome da Thomas Simpson, anche se la formula era già nota ai suoi tempi. Non è improbabile però che gli autori della serie di cartoni (tutti con competenze e studi scientifici) abbiano dato di proposito al protagonista il cognome del famoso matematico. Famosi sono inoltre i riferimenti matematici, espliciti e nascosti, presenti negli episodi.
Una bella funzione razionale è f(x)=\frac{1}{1 + x^2}, e fa proprio al caso nostro; integrata tra 0 e 1 dà arctg(1) che corrisponde all’angolo di 45°, perché come ben noto (?) tg(45^{\circ})=1. Ma l’angolo di 45° è proprio \pi/4.
Abbiamo quindi una funzione facile da calcolare e da inserire nella formula di Simpson: andiamo avanti senza indugi al calcolo di pi greco!
Per essere più chiari, useremo la suddetta formula di Simpson (meglio nota come Regola di Cavalieri-Simpson) per calcolare in maniera approssimata quest’integrale.
\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx = \frac{\pi}{4}.
Ovviamente non proveremo a calcolarlo manualmente: abbiamo il computer e un bellissimo ambiente di programmazione tra l’altro gratuito e facile. Non ci resta che scrivere (anzi comporre in questo caso) il programmino ed è fatta.