Non si può dire che viviamo in un epoca dove scarseggia la fantasia: ormai le case editrici che si occupano di collezionismo si inventano di tutto. In particolare la Edibas, che non si limita a produrre serie di successo ispirate a personaggi TV, ma inventa delle vere e proprie saghe di grande successo, come i classici Dragonix fino agli ultimi Alphabots, prodotti in varie versioni: “In The Darkness”, “Galaxy” fino alle ultime fantastiche “Fluo Metal”.
Vengono vendute delle bustine al cui interno è presente un personaggio, per un totale di 36, la cui particolarità è di avere la forma di una lettera dell’alfabeto o di una cifra numerica.
All’occorrenza hanno la possibilità di trasformarsi mediante snodature personaggi “robotici”.
La De Agostini non è da meno e produce anch’essa serie di successo, come i recenti “Kamaleonti & co.”, una serie di 22 camaleonti che riproducono le fattezze di altrettante specie di camaleonti.
Non mancano per tutte queste serie un sito dove si può interagire con i personaggi trovati nelle bustine con giochi semplici tecnologia flash e schede su ciascun personaggio.
Insomma ogni giorno un vero spasso, ma a parte il divertimento poniamoci anche il quesito: è possibile completare queste collezioni? Quanto ci vuole per avere tutti i personaggi di una serie?
Per esempio, nel caso degli Alphabots, che in totale sono 36, quanti bustine dovrò comprare? Se si è estremamente fortunati si riesce a completare la collezione comprando appena 36 bustine (come vedremo bisogna essere veramente fortunati per riuscirci), ma non c’è limite al numero di bustine che si dovranno compare nel caso si sia sfortunati: 50? 100? 200? 2000? La risposta è che non esiste alcun limite, si potrebbe continuare indefinitamente a comprarne senza successo.
Se l’uscita di uno qualunque dei personaggi ha la stessa probabilità degli altri, la probabilità per ciascuno di loro di uscire da un pacchetto è 1/36=2,8% (per la definizione classica c’è una probabilità favorevole su 36 totali). Esiste la possibilità abbastanza remota che escano 36 pacchetti diversi di fila e la sua probabilità è
1 \cdot \frac{35}{36} \cdot \frac{34}{36} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{36} = 0,00000000000035 \%
si tratta di una eventualità sinceramente poco probabile, di conseguenza sarà alta la probabilità di dover comprare più bustine, quante però non è possibile saperlo, il numero di bustine da comprare per completare la serie dipende dal caso, è ciò che si chiama variabile casuale, ed è una quantità non valutabile a priori.
Ci possiamo però porre un problema più generico: quanto devo aspettare in media per avere tutti gli Alphabots: preso un gruppo di collezionisti che collezionano contemporaneamente questi personaggi qualcuno terminerà la sua collezione prima e qualcuno dopo, quanti ne acquisteranno in media? Se riusciamo a esprimere la probabilità della variabile casuale prima definita la sua media è data da una semplice formula matematica; ma andiamo per gradi.
In primo luogo risolviamo un quesito connesso, che intuitivamente ha una soluzione abbastanza immediata: quante bustine dovrà dovranno comprare in media prima che esca uno dei particolari personaggi, per esempio la A? La probabilità di uscita della A è identica a quella di qualunque altro personaggio e vale p=1/36. La probabilità che esca al primo tentativo è p_1=p mentre probabilità che non esca al primo tentativo è q_1=1-p.
La probabilità invece che esca al secondo tentativo è p_2 = q_1 \cdot p = (1-p) \cdot p , mentre la probabilità che non esca è q_2=q_1 \cdot (1-p) =(1-p)^2 e così via. In generale la probabilità che esca all’n-esimo tentativo corrisponde alla probabilità che non esca nei n-1 tentativi precedenti ed esca nell’n-esimo, cioè p_n = p \cdot q^{n-1}.
La media di una variabile casuale si calcola con la seguente formula
\sum_{n=1}^\infty {n\,p^n} = \sum_{n=1}^\infty { n\,p\,q^{n-1} } = p \sum_{n=1}^\infty { n\,q^{n-1} } = p \sum_{n=1}^\infty { \frac{d}{d q} q^n } = p \frac{d}{d q} \frac{1}{1 - q} = p \frac{1}{ (1 - q)^2}= \frac{1}{p}
In generale quindi il tempo medio di attesa per un elemento è dato dall’inverso della sua probabilità.
Ritorniamo al quesito iniziale: quanto tempo impiegheremo per ottenere tutti i gli Alphabots?
Con il primo acquisto otteniamo il primo Alphabots (T_1=1), quanti acquisti dobbiamo fare per ottenerne uno diverso dal primo? I casi favorevoli sono i 35 Alphabots rimanenti su 36 totali, la probabilità sarà p_2=35/36 e di conseguenza il tempo di attesa sarà T_2=36/35, in totale T_1+T_2=1+35/36.
In generale, se ho già collezionato n Alphabots distinti, la probabilità che al prossimo acquisto ne esca uno nuovo è p_{n+1}=\frac{36-n}{36}, e il suo tempo di attesa è T_{n+1}=\frac{36}{36-n}, per un tempo totale di T_1+T_2+...+T_{n+1}=1+\frac{36}{35}+\frac{36}{34}+...+\frac{36}{36-n}=\sum_{k=0}^n \frac{36}{36-k}=36 \sum_{k=0}^n \frac{1}{36-k}.
Per tutti e 36 i personaggi si dovrà aspettare in media: T_1+T_2+...+T_{36}=1+\frac{36}{35}+\frac{36}{34}+...+36=114,28. Ciò significa che per completare tutta la collezione di 36 elementi se ne dovranno comprare in media almeno 115.